Première NSI

Rappel — Les ensembles de nombres

Chaque cadre est inclus dans celui qui l'entoure : tout naturel est un entier relatif, tout entier relatif est décimal, tout décimal est rationnel et tout rationnel est réel.

• N — Naturels : 0, 1, 2, 3, …
• Z — Entiers relatifs : …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
• D — Décimaux : nombres qui possèdent une écriture décimale finie, comme 0,5 ou −2,75.
• Q — Rationnels : nombres qui s'écrivent comme un quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul. Par exemple, 1/3 est rationnel mais n'est pas décimal.
• R — Réels : tous les nombres repérés sur une droite graduée. Ils comprennent les rationnels et les irrationnels, comme √2 et π.

I. Une première idée : réserver un bit au signe

A. Le signe et la valeur absolue

On peut réserver le bit de gauche au signe : 0 pour un nombre positif ou nul, 1 pour un nombre négatif. Les autres bits représentent la valeur absolue du nombre, c'est-à-dire sa distance à zéro.

B. Les limites de cette idée

Sur quatre bits, zéro possède deux codes : 0000 pour +0 et 1000 pour −0.

De plus, une addition binaire habituelle ne donne pas toujours le résultat attendu :

  1010    code de −2
+ 0101    code de +5
------
  1111    code de −7 avec cette convention

Or −2 + 5 = 3. Il faudrait donc traiter spécialement le signe lors des calculs. Le complément à deux répond à ces difficultés.

II. Représenter un entier en complément à deux

A. Fixer le nombre de bits

Avant de coder un entier, il faut connaître la taille de sa représentation. En complément à deux sur n bits, on peut représenter les entiers de −2ⁿ⁻¹ à 2ⁿ⁻¹ − 1.

B. Coder un entier positif ou nul

On écrit l'entier en binaire, puis on complète avec des zéros à gauche jusqu'à obtenir le nombre de bits demandé. Sa valeur doit appartenir à l'intervalle autorisé : le bit de gauche vaut alors 0.

Par exemple, +5 se code 0101 sur quatre bits et 00000101 sur huit bits.

C. Coder un entier négatif

III. Lire un code et effectuer des calculs

A. Retrouver l'entier représenté

Le bit de gauche indique si l'entier est négatif. Tous les bits participent au calcul de sa valeur :

• s'il vaut 0, lire le code comme un entier naturel ;
• s'il vaut 1, inverser les bits, ajouter 1 et lire le résultat comme un entier naturel : on obtient la valeur absolue. Lui donner ensuite le signe moins.

On peut aussi utiliser les poids des bits, en donnant au bit de gauche le poids −2ⁿ⁻¹.

On retrouve : −8 + 0 + 2 + 1 = −5.

Autre façon de faire : si le bit de gauche vaut 1, lire le code comme un entier naturel puis soustraire 2ⁿ. Ici : 11 − 16 = −5.

B. Un seul zéro et des additions plus simples

Zéro a un seul code : tous les bits à 0. Sur quatre bits, inverser 0000 donne 1111, puis ajouter 1 donne 10000. En gardant seulement quatre bits, on retrouve 0000.

L'addition utilise les règles binaires habituelles. On conserve le nombre de bits fixé ; une retenue qui dépasse à gauche est écartée.

Pour calculer −2 + 5 sur quatre bits, on utilise les codes 1110 pour −2 et 0101 pour +5.

Une soustraction peut ainsi s'effectuer comme une addition de l'opposé : A − B = A + (−B), lorsque les opérandes nécessaires sont représentables.

À retenir

Feuille d'exercices — Entiers relatifs.